문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 등가 원리 (문단 편집) === 일반 상대성 이론에서의 활용 === 아인슈타인이 등가 원리를 응용하여 보였던 중력 적색 편이와 빛의 굴절에 대한 증명은 아름답지만, 단편적이며 논의가 고전적이다. (사실, 빛의 굴절에 대한 예측은 값이 틀렸다!) 이와 같은 방식으로 중력의 가장 대표적인 응용인 궤도 문제를 해결하는 것은 요원해보인다. 등가 원리를 만족시키는 체계화된(systemized) 중력 이론을 만들기 위해서는 완전히 새로운 포말리즘이 필요하다. 먼저, 특수 상대성 이론에서 운동학적으로 동시성의 상대성, 시간 지연 등을 단편적으로 유도하다가 결국 로런츠 변환을 유도했듯이 중력장에 대응하는 좌표 변환을 구하려고 시도해볼 수 있다. 이는 1912년 아인슈타인이 첫번째로 시도한 방법이지만 한계가 뚜렷했고, 사실 실패적이었다. 아인슈타인은 회전하는 원판 사고실험을 통해 등속 원운동계(등가 원리에 따라 중력장으로 해석할 수 있다.)에 단순한 기하학(유클리드 기하학)이 성립하지 않는다는 것을 알아냈고, 따라서 일반적인 중력장을 설명하기에 기존의 단순 기하학을 기반으로 한 방법론을 적용하는 것은 어려웠다. 아인슈타인은 특정 중력장에 대응하는 좌표계를 구체적으로 찾는 방법론을 포기하고 4차원 시공간 위에 완전히 일반적인 좌표계를 도입해야만 했다. 시간이 공간 상의 모든 점에서 균일하게 흐르지 않는다는 점은 이미 아인슈타인이 등가 원리를 통해 증명하였고, 공간의 기하학 역시 구체적인 접근이 까다롭다. 한편, 일반화된 좌표계에서 물리법칙을 다루기 위해서는 물리방정식들의 일반화가 필요하다. 이 부분은 미분 기하학에서 정의하는 여러 선형 함수(텐서)들을 활용하면 된다. 전반적인 내용은 [[일반 상대성 이론의 기초 수학]] 참고. 이로써 아인슈타인의 애초 목표였던 일반 상대성 원리를 뛰어넘어 일반 공변 원리(principle of general covariance)가 도입되었다. 차이점이라면, 일반 상대성 원리는 모든 "운동 상태"의 좌표계에 적용된다면, 일반 공변 원리는 그냥 모든 좌표계에 적용되는 것이다. 이렇게 임의의 좌표계를 허용해버리면 각각의 좌표값(시간, 공간축)은 물리적 의미를 잃어버리게 된다. 많은 우여곡절에도, 아인슈타인이 고심 끝에 선택한 방법론은 (아인슈타인 자신이 생각한 철학적 요구들이 모두 반영되지는 않았지만) 아인슈타인 등가 원리를 이론에 녹여낼 수 있는 최상의 방법이었다. 먼저, 등가 원리에서 일반 상대성 이론으로 넘어가기 위해서는 아인슈타인의 표현을 다시 한 번 수정해야 한다. 국소적으로 중력과 관성력이 같다는 말은 국소적으로 적당한 좌표계를 선택하면, 다시 말해 자유 낙하를 하면 이 좌표계는 관성 좌표계가 된다는 것을 의미한다. 따라서, 자유 낙하 좌표계는 특수 상대성 이론과 완벽하게 동일한 물리 법칙을 제공한다고 가정할 수 있다. 오늘날 아인슈타인 등가 원리라 하면 보통 이 방식의 표현을 의미한다. 아인슈타인은 [*Einstein(1916) A. Einstein, 『Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie』, Annalen der Physik 49: 769–822 [[https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol6-doc/312|독문]][[https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol6-trans/158|영문]]]에서 이 표현을 분명하게 사용하였다. > 무한히 작은 4차원 영역에서 좌표를 적당히 선택하면 특수 상대성 이론이 성립한다. > {{{-2 Für unendlich kleine vierdimensionale Gebiete ist die Relativitätstheorie im engeren Sinne bei passender Koordinatenwahl zutreffend.}}} 이 표현은 정확한 논의가 어려운 중력에 대한 언급을 피하고, 잘 구축된 특수 상대성 이론이 이론에서 어떤 방식으로 유효한지 말해준다. 일반 상대성 이론에서는 시공간을 4차원 미분 다양체에 (-, +, +, +)의 부호수를 가진 메트릭(계량) 구조가 추가된 것으로 해석한다. 특수 상대성 이론은 적절한 좌표를 선택하면 전체 다양체에서 광속 불변성이 성립하므로 || [math(ds^2 = -c^2dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2)] || 를 만족시켜야 한다. 아인슈타인 등가 원리는, 각각의 점에서 국소적인 좌표 선택을 통해 특수 상대성 이론을 유도할 수 있음을 보장하므로 자유롭게 좌표를 선택할 수 있되 각 점에서는 적당히 좌표를 선택하여 상기된 메트릭 텐서(의 성분)가 나와야 한다. 다음으로 특수 상대성 이론의 물리 방정식들을 옮겨와야 하는데, 아인슈타인 등가 원리가 말하는 해답은 간단하다. 메트릭 텐서 [math(\eta_{\mu\nu})]를 [math(g_{\mu\nu})]로 바꾸고, 미분 연산자 [math(\partial_{\mu})]를 [math(\nabla_{\mu})]로 교체한다. 예를 들어, 에너지 보존법칙 [math(\partial_{\mu}T^{\mu\nu} = 0)]은 아인슈타인 등가 원리에 따라 [math(\nabla_{\mu}T^{\mu\nu} = 0)]으로 교체된다. 그런데, 사실 아인슈타인 등가 원리로 일반 상대성 이론의 모든 물리법칙을 정해주는 데에는 한계가 있다. 예를 들어 임의의 벡터장 [math(A^{\mu})]에 대하여 || [math(\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}A^{\alpha} - \nabla_{\nu}\nabla_{\mu}A^{\alpha} = R^{\alpha}_{\,\,\beta\mu\nu}A^{\beta})] || 로, (편미분과 달리) [math(\nabla_{\mu})]와 [math(\nabla_{\nu})]의 순서를 바꾸는 데에는 곡률 텐서가 관여한다. 특수 상대성 이론의 경우 평평한 시공간을 배경으로 했으므로 순서를 바꾸는 데 문제가 없었으나, 곡률을 고려하는 일반 상대성 이론에서는 문제가 생긴다. 예를 들어 맥스웰 방정식 || [math(\eta^{\alpha\beta}\partial_{\alpha}\partial_{\beta}A^{\mu} - \eta^{\mu\beta}\partial_{\alpha}\partial_{\beta}A^{\alpha}= \mu_0J{^\mu})] || 을 일반화하면 || [math(g^{\alpha\beta}\nabla_{\alpha}\nabla_{\beta}A^{\mu} - g^{\mu\beta}\nabla_{\alpha}\nabla_{\beta}A^{\alpha}= \mu_0J{^\mu})][br][br][math(\Updownarrow)][br][br][math(g^{\alpha\beta}\nabla_{\alpha}\nabla_{\beta}A^{\mu} - g^{\mu\beta}\nabla_{\beta}\nabla_{\alpha}A^{\alpha} - g^{\mu\beta}R^{\alpha}_{\,\,\nu\alpha\beta}A^{\nu}= \mu_0J{^\mu})] || 로 두 가지의 표현이 가능하다. 그런데 특수 상대성 이론에서는 편미분을 임의로 교환할 수 있었으므로 편미분 순서를 바꾼 뒤 등가 원리를 적용하면 두 번째 식에서 곡률 텐서가 빠진 식이 도출된다. 아인슈타인 등가 원리는 두 식 중 어떤 것이 맞는지 답을 할 수 없으며 외부적인 고려가 필요하다. 이 문제에 대해서는 [*Misner(1973)]에서 자세히 다루고 있다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기